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Le paradoxe du littoral est l'observation contre-intuitive que le littoral d'une masse continentale n'a pas de longueur définie. Cela résulte des propriétés apparentées à celles d'une courbe fractale des littoraux ; c'est-à-dire le fait qu'un littoral a typiquement une dimension fractale. Bien que le « paradoxe de la longueur » ait été précédemment noté par Hugo Steinhaus[1], la première étude systématique de ce phénomène est réalisée par Lewis Fry Richardson[2],[3], et il est développé par Benoît Mandelbrot[4],[5].
La longueur mesurée du littoral dépend de la méthode utilisée pour le mesurer et du degré de généralisation cartographique. Une masse continentale ayant des caractéristiques à toutes les échelles, allant de centaines de kilomètres à de minuscules fractions de millimètre et moins, il n'y a pas de taille évidente de la plus petite caractéristique qui devrait être prise en considération lors de la mesure, et donc pas de périmètre unique bien défini à la masse continentale. Diverses approximations existent lorsque des hypothèses spécifiques sont faites sur la taille minimale des caractéristiques.
Le problème est fondamentalement différent de la mesure d'autres bords plus simples. Il est possible, par exemple, de mesurer avec précision la longueur d'une barre de métal droite et idéale en utilisant un appareil de mesure pour déterminer que la longueur est inférieure à une certaine quantité et supérieure à une autre quantité, c'est-à-dire la mesurer avec un certain degré d'incertitude. Plus l'appareil de mesure est précis, plus les résultats seront proches de la longueur réelle du bord. Lors de la mesure d'un littoral, cependant, la mesure plus proche n'entraîne pas une augmentation de la précision - la mesure ne fait qu'augmenter en longueur, contrairement à la barre métallique, il n'y a aucun moyen d'obtenir une valeur maximale pour la longueur du littoral.
Dans l'espace tridimensionnel, le paradoxe du littoral s'étend volontiers au concept de surfaces fractales, où l'aire d'une surface varie en fonction de la résolution de mesure.
- (en) Steinhaus, « Length, shape and area », Colloquium Mathematicum, vol. 3, no 1, , p. 1–13 (DOI 10.4064/cm-3-1-1-13) :
« "The left bank of the Vistula, when measured with increased precision would furnish lengths ten, hundred and even thousand times as great as the length read off the school map. A statement nearly adequate to reality would be to call most arcs encountered in nature not rectifiable." »
- (en) Vulpiani, « Lewis Fry Richardson: scientist, visionary and pacifist », Lettera Matematica, vol. 2, no 3, , p. 121–128 (DOI 10.1007/s40329-014-0063-z, MR 3344519, S2CID 128975381).
- (en) L. F. Richardson, General Systems Yearbook, vol. 6, , 139–187 p., « The problem of contiguity: An appendix to statistics of deadly quarrels ».
- Mandelbrot, « How Long is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension », Science, vol. 156, no 3775, , p. 636–638 (PMID 17837158, DOI 10.1126/science.156.3775.636, Bibcode 1967Sci...156..636M, S2CID 15662830, lire en ligne, consulté le ).
- (en) Benoit Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, W. H. Freeman and Co., , 25–33 (ISBN 978-0-7167-1186-5, lire en ligne
).
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